Ռասելի պարադոքսը

20-րդ դարի սկզբին շատերը սկսեցին հետաքրքրվել մաթեմատիկական գիտության այս նոր ճյուղով` Հավաքականության տեսությամբ: Հիմնականում սա վերաբերում է իրերի հավաքմանն ու դասավորությանը: Տեսության հիմնական գաղափարն այն է, որ ամեն բան կարելի է դարձնել հավաքական: Մրգերի բոլոր տեսակներն ու ԱՄՆ բոլոր նախագահները միասին վերցրած բոլորը համապատասխանում էին այս տեսության սկզբունքին: Շատ կարևոր է նաև նշել, որ այս հավաքական թվերը իրենց մեջ կարող են կրել այլ հավաքական թվեր: 1901թ. հայտնի մաթեմատիկոս Բերնարդ Ռասելը հասկացավ, որ ամեն ինչից չէ, որ կարելի է հավաքական թիվ ստանալ:
Ռասելը որոշեց իրերից ստանալ մետա` վերցրեց հավաքական իրերի մի համակարգ, որոնք չեն պարունակում իրենք իրենց: Այսպես օրինակ` հավաքական մրգերը չեն պարունակում իրենց հավաքական թիվը և կարող են դուրս գալ մաթեմատիկայի հավաքական պնդումից:

Անսահմանության տարբեր մակարդակներ

Անսահմանությունն ինքնին դժվար ընկալվող կոցեպտ է: Մարդիկ երբեք մինչև վերջ չեն կարողացել պատկերացնել անվերջանալի երևույթները: Իսկ մաթեմատիկոսներն այս կոնցեպտին զգուշությամբ են մոտենում: 19-րդ դարի վերջերին միայն Ջորջ Կանտրոնը զարգացրեց Հավաքականության տեսությունը (նայեք Ռասելի պարադոքսը): Այս տեսությունն օգնեց նրան բացահայտելու անվերջության բնույթը: Եվ այն, ինչ նա բացահայտեց, իսկապես ցնցող էր: Պարզվում է, որ ինչ տեսակ անվերջություն էլ պատկերացնենք, գոյություն ունի դրանից ավելի մեծ ուրիշ տեսակ անվերջություն: Անվերջության ամենացածր մակարդակը բոլոր ամբողջ թվերի (1,2,3…) գումարն է, և այն հաշվելի անվերջություն է: Իր տրամաբանությամբ Կանտորը հասկացավ, որ սրանից հետո կա մեկ այլ մակարդակի անվերջություն, որն իրական թվերի (1, 1.001, 4.1516… և յուրաքանչյուր թիվ որ կարող է ձեր մտքով անցնել) ամբոողջությունն է: Այս տեսակի անվերջությունն անհաշվելի է, որը նշանակում է, որ եթե նույնիսկ տիեզերքի ամբողջ ժամանակն ունենաք, չեք կարողանա հիշել ու նշել բոլոր իրական թվերը`առանց որևէ մի թիվ բաց թողնելու: Սակայն սրանցից բացի գոյություն ունեն էլի շատ ուրիշ անվերջության մակարդակներ: Կհարցնեք ինչքա՞ն: Իհարկե անսահման: